Une réalité pédagogique de l'apprentissage

Tout apprentissage, qu'il soit formel ou informel est nécessairement basé sur les trois principes pédagogiques que nous avons définis plus haut ;  à savoir:

• Accepter (l'apprenant est tenu d'accepter les définitions, les théorèmes, les notions etc...);

• Retenir (Une fois la notion acceptée, il revient à l'apprenant de faire fonctionner sa mémoire en retenant les notions qui lui sont enseignées);

• Appliquer (Appliquer dans des activités variées ce qu'il a accepté et retenu; cela peut se faire pendant l'apprentissage ou longtemps après l'apprentissage).

Résoudre un problème ou traiter un exercice de mathématiques, de sciences physiques, de sciences de la vie et de la terre, de français, d'histoire géographie ou de toute autre matière, se présente comme un travail intellectuel et donc, il faudrait alors choisir les outils nécessaires pour le travail.

• En mathématiques en particulier et dans les autres disciplines en général, il est nécessaire que les outils intellectuels soient bien formulés afin de les rendre plus "vivants", plus "saisissables".

Les théorèmes en mathématiques devraient comportés les trois étapes; à savoir:
Les données du théorème; (phrase qui commence souvent par "Soit...")
L'hypothèse (ou les hypothèses); (phrase(s) qui vient(nent) après "Si...")
La(les) conclusion(s); (phrase(s) qui vient(nent) après "Alors..")

• Par exemple le théorème de Pythagore est :

Cela a l'avantage de rendre les outils (théorèmes) plus utilisables, plus saisissables.

• En mathématiques, en général pour faire un travail intellectuel du genre: "montrer que ... ou démontrer que ... ou en déduire que...", il faut :

1. Soit faire un calcul algébrique : Par exemple :

Il s'agit là d'un simple calcul algébrique ; les outils pour ce genre de travail sont à rechercher dans les "règles de calcul dans IR" principalement les "propriétés des opérations dans IR".

 

2.  Soit utiliser un théorème comme outil; car le plus souvent, ce qu'il faut montrer généralement est la conclusion d'un théorème; il faudra alors vérifier que les hypothèses de ce théorème sont réalisées : Par exemple :

Il s'agit ici d'utiliser probablement le théorème "Principe de localisation" comme outil; il faudra alors intrduire une fonction f et vérifier que la fonction f dont l'expression est ainsi donnée vérifie les hypothèses du théorème ; car ce qu'on doit montrer n'est autre chose que la conclusion du théorème (appliqué à f sur l'intervalle désigné).

 

3.  Soit utiliser comme outil, si la question est : "En déduire que", le théorème dont l'hypothèse est l'énoncé ou le résultat de la question qui vient tout juste avant elle.  Par exemple:

Pour la question b), même si on n'est pas parvenu à prouver la question a), son énoncé est utile pour répondre à la question b). L'outil est probablement un théorème qui utilise l'énoncé de a) comme hypothèse : (le théorème des gendarmes).

Nous proposons ici quelques conseils qui, sans être parfaits, pourraient, nous l'espérons aider les élèves à mieux traiter les exercices et problèmes de mathématiques, notamment en classe de terminales.